看似公平的菠菜游戏，实则的真相

       昨天我和一个发小聊起菠菜，聊起了其公司的制定赔率的问题，我的想法是DB公司本身并不把重心放在预测球赛走向上，事实上他们只关心买家的下注比例，而赔率正是这样一个与赌家下注比例自适应的权重。换而言之，赔率是下注比的一个函数，如果我们可以从赔率逆求出庄家手中的下注比，那么我们也可以模拟庄家的策略下注，在宏观大量下注的前提下获得稳定收益。


      S君对我的想法持悲观态度，他说在生活中的博弈上，数学只是很小的一个部分。庄家完全可以用很简单的规则保证固定的收益，从数学上入手希望很小。（后来讨论的结果是，考虑到庄家还有5-15%的抽税，我的策略显然是不可行的。）唯有找到数学之外，连庄家也未曾意识到的“潜规则”，再结合严格的数学推倒，才有获胜的可能。



      他讲了自己利用逻辑从DB机中赚钱的故事，让我瞠目结舌，也促成了这篇文章。那时还是初中，我在田林三中，他在西南位育——二者中间夹着一个田林电影院，学校也经常组织班级去看电影。电影院顶楼是一层游戏机房，我虽然只去过一次，但是已经提起还是能想起来。S君和我不同，是一个喜欢电玩的人，家里堆满了游戏光盘，也经常去那个游戏机房玩。他很快发现了一台DB机有利可图。


        那是一个怎么看都很“公平”的游戏：一个简单的机械装置，有两个投币口，分别代表黑色与白色。玩家则把相应押注的游戏币投进去（游戏币与一元现金等值）。等到所有玩家投币结束，机器开始运转，并随机从黑白两个小孔中掉出一个球来。输家清空，赢家有一倍奖金。S君讲到这里，我意识到这个赌局等于说老板为一个各占1/2的互斥事件都开了1的赔率。这种模型下，无论玩家采用怎样的混合策略，期望收益始终为零。


        我没想出怎样获胜，我也不认为有可能获胜。S君接着说，他的策略很简单。即一次选定一种颜色，如黑色。则第一次赌一块钱在黑色；如果输了，第二次压两块钱继续黑色；如果再输，第三次四块钱黑色……如此往复。如果n轮不赢，就在第n+1轮压2的n方于黑色。如果一旦赢了就收手开始下一次一元、两元、四元的新循环。


         这种方法的好处是，无论前面亏了多少钱，只要接下来赢一次，就能扭亏为盈，净赚一元，而n次连续失败的概率非常小，仅为1/(2^n)。当然了，这种方法不足以唬到我。当我之前说任何混和策略期望都为零的时候自然也把这种策略包括在内。这种策略看起来失手的概率很小，为什么期望还是零呢？很简单，因为他的赌注太大了，假设前7次都输了，那么第八次就不得不压上256元才有可能翻本。但是第八次再输，就累计亏损511元，我不认为身为初中生的S还有资本继续赌下去。


        换句话说，失败的概率虽小，但每次出现七八次不中的小概率事件时损失也是致命的，足以让他几周之内都没钱继续游戏。再者，这个策略每一个成功的循环只能收益1元，要想获得稳定收益，必须大量重复。以每次循环两次估计，要想赚到20块钱就需要玩40把。四十已经超过了2的五次方32，也就是说，想用这个策略赚20块就几乎肯定会遭遇连续五次白色，以至于亏掉32元。这显然是非常不理智的。


       老实说，我非常怀疑这个策略的可行性。然而事实上，S君确实采用这个策略，每次在游戏机房里赚到20-30个币之后，接着去玩其他游戏逍遥一下午。我并非只是完全相信他的一面之词，而是他后来的分析使我不得不相信这种策略确实是行之有效的，因为我之前的分析犯了致命的错误。


“汉平，你的致命错误在于……你相信这是一个完全公平的博弈。”


        S君笑着说，“你的分析从数学角度无懈可击。可是别忘了，你的结论是玩家期望为零，换句话说，庄家的期望也是零。可是庄家的收益真的是零吗，如果是零，他买这个机器教这份租金岂不是亏了？”事实上S君的想法我也想过，庄家一定会赚钱。唯一的方法就是庄家在操纵小球。做个极端的假设，假如有人赌一万在白色，那么他能获胜的概率就非常小了，庄家不会坐视几周的流水付之东流。虽然不会有人在游戏机房赌上一万，但是据S说，一次赌上200-300的成年土豪并不少见。


        对庄家来说，最贪心的情况莫过于每次都操控小球落在投注较小的颜色上，这样每次都赚。但这样显然不是常态，如果太明显而被玩家意识到，那就无法愉快的玩耍了。庄家应该有赢有输，总体上维持一个适当的小收益，比如每十局10%，虽然不大但是比起什么金融理财产品还是堪称暴利了。我有些疑惑：“那么对玩家来说，应该每次都站在少数一方，那也不是你这个策略呀。”


        S接着说，这个机器设置是每个玩家走上前投币的。不与玩家交流的话，基本上看不到其他玩家把币投到了那个地方，而每次都与其他玩家交流再做决策又是不可能的。



我：“所以“少数获胜”这个“潜规则”并没有实际意义？”

S：“不能这么孤立地看——其实当你意识到这个博弈存在‘潜规则’的时候，就已经比之前前进很多了。我们接下来思考其他的、足以利用的潜规则。”

我：“还有其他的吗，我觉得少数获胜已经足以让老板赚钱了。”

S：“老板事先已经承担了机器以及场地的成本，也就是说，他在这次博弈中是负债的。他不仅不能亏欠，还必须要赚钱。而赚钱有两个必要条件，一个是不能让某人一次赚走巨款，
这就是所谓少数获胜，但另一个重要的条件是——在稳定收益的前提下吸引尽可能多的玩家。”
我：“从赌徒的心里来说，这场博弈不用交税，胜负看起来各半，其实已经非常诱人了。”

S：“但是不具备数学思维的其他玩家并不这么看。我们回到一开始你质疑我的问题，你说我的策略虽然失败的概率不大，但是一旦失败就会损失惨重是吧？”

我：“对啊，虽然失败的概率只有1/(2^n)，但是一旦失败就会亏损2^n左右——总体期望始终为零。”

S：“你不妨仔细想想我可能失败的情况。我手里一般有300元左右，足以从压1块开始支撑我到压128元，也就是玩8次。我失败的唯一可能是，连续八次都是白色，那我就完了。



我：“虽然可能性很小，但是确实存在……而且损失很大……”

S：“你错了，这种概率只存在于数学之中。实际上绝无可能——老板不允许这种情况出现。试想在游戏中，一旦出现八次同一颜色，对于我来说，固然可以接受，因为我玩过上千次了，八次白色的概率是1/128，总会遇到的。但是对于其他偶尔只玩过一次的玩家，他们会怎么想，是愿意接受自己就是撞到了1/128的运气，还是开始质疑庄家？何况这游戏庄家本来就在操控。”


       想要让玩家不质疑游戏被操控，不是真的不操控，而是只要让他们不感觉到被操控。基于这样的原则，即便是正常分布下的小概率事件也必须拿掉，因为他们会引来质疑。反而温水煮青蛙式的偶尔操纵几盘少数获胜，因为庄家事先也不知道白色与黑色那个是少数，所以从结果上来看，并不会破坏黑白色的平均分布。所以庄家并不顾忌让少数获胜，因为这种诡计并不打破直观上黑白的平衡。但绝对不允许存在的是“连续多次出现同一种颜色”，虽然在大量游戏中理应出现这种小概率事件。它们是数学中的小概率事件，却在现实中被修正为零概率事件。


        讲到这里我才完全明白了S真正敏锐的地方，也明白为何这么一个简单的策略可以在这样一个“公平”的博弈中始终获胜了。后来S又补充说，他认为老板刻意控制10%的收益太麻烦了，毕竟老板还要照顾其他游戏和玩家。


        所以更接近事实的推测是，这个机器本身自带了一种随机分布。在这种分布下，老板确实收益和玩家整体一样，都是零。而老板只要每天抽一段时间，操纵几次游戏，使得这几次游戏中老板始终赚到足够钱，其他时间就让机器自动运转。这样除非出现有人压一万这种情况老板如临大敌以外，这个公平的机器就是一个聚宝盆了。

这位S君是非常冷静的人啊，分析得蛮对

看似是概率问题，实则也跟我们选择的操作有关

本金只要没输完，我都觉得是哟机会翻身

这个机器真是个聪明的家伙，老板也是个精明的生意人啊！

求爱者 发表于 2023-09-24 19:51:45看似是概率问题，实则也跟我们选择的操作有关

这个机器的运作方式真是让人大开眼界，庄家的小聪明让整个游戏更加有趣和刺激。

周星驰 发表于 2023-09-24 19:52:04本金只要没输完，我都觉得是哟机会翻身

这个博弈中，玩家要更多的洞察力和策略

机器的设计真是巧妙，庄家通过操纵少数获胜的概率，巧妙地控制了整个游戏的走势。

净赚一元，按你这个算，得打到什么时候啊

星空之梦 发表于 2023-09-24 19:59:48[quote]周星驰 发表于 2023-09-24 19:52:04本金只要没输完，我都觉得是哟机会翻身

这个博弈中，玩家要更多的洞察力和策略[/quote]玩家不仅要面对机器的随机分布，还要应对庄家的操纵